Inducción
5, 02 de 2005-11-02 de 2005
Se pide encontrar la falacia encerrada en el siguiente razonamiento. Soluciones y discusiones, en los comentarios. Los que lo sepáis, no desveléis el secreto demasiado pronto.
TEOREMA: Todos los números enteros son iguales.
DEMOSTRACIÓN: es suficiente demostrar que para todo A y B, A=B, es decir, que para todo N, si max(A,B) <= N, entonces A=B. Procedemos por inducción en N. Si N=1, el resultado es obviamente cierto, porque max(A,B) = 1 implica que A=B=1. Si el teorema es cierto para N=k, para k+1 tenemos que si A y B son tales que max(A,B) <= k+1, entonces max(A-1,B-1) = k; como el teorema es cierto para N=k, entonces A-1=B-1, y A=B, luego el teorema también es cierto para N=k+1.
TEOREMA: Todos los números enteros son iguales.
DEMOSTRACIÓN: es suficiente demostrar que para todo A y B, A=B, es decir, que para todo N, si max(A,B) <= N, entonces A=B. Procedemos por inducción en N. Si N=1, el resultado es obviamente cierto, porque max(A,B) = 1 implica que A=B=1. Si el teorema es cierto para N=k, para k+1 tenemos que si A y B son tales que max(A,B) <= k+1, entonces max(A-1,B-1) = k; como el teorema es cierto para N=k, entonces A-1=B-1, y A=B, luego el teorema también es cierto para N=k+1.
Por José Ra Portillo Fernández |
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En: Humor matemático
